Vettori nello spazio

Consideriamo un sistema cartesiano Oxyz e indichiamo con \( \vec{i},\vec{j},\vec{k}\) i versori degli assi x,y,z, cioè i vettori con direzione e verso di ogni asse e modulo unitario.

A ogni punto nello spazio \( A(a_x;a_y;a_z)\) possiamo associare un vettore \( \vec{OA}=\vec{a}\), che ha primo estremo nell'origine O. Osserviamo che le componenti di \( \vec{a}\) sono \( a_x\vec{i},a_y\vec{j}\) e \(a_z\vec{k}\), quindi: \( \vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}\)

Il modulo di \( \vec{a}\) è dato da: \( |\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\)

Consideriamo due vettori \( A(a_x;a_y;a_z)\) e \( B(b_x;b_y;b_z)\) definiamo le seguenti operazioni:

• Somma: \( \vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x;a_y+b_y;a_z+b_z)\)
• Differenza: \( \vec{a}-\vec{b}=(a_x-b_x;a_y-b_y;a_z-b_z)\)
• Prodotto per uno scalare: \( k\vec{a}+\vec{b}=(ka_x;ka_y;ka_z)\)
• Prodotto scalare: \( \vec{a}\cdot \vec{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)\)

Due vettori \( \vec{a}\) e \(\vec{b}\) non nulli sono paralleli se e solo se k è un numero reale tale che \( \vec{a}=k\vec{b}\), cioè \( \vec{a}=(kb_x;kb_y;kb_z)\). Se le componenti di \( \vec{b}\) sono tutte diverse da 0, possiamo scrivere: \( \vec{a}\\\vec{b}<->\dfrac{a_x}{b_x}=\dfrac{a_y}{b_y}=\dfrac{a_z}{b_z}=k\)

Due vettori \( \vec{a}\) e \(\vec{b}\) non nulli sono perpendicolari se e solo se il prodotto scalare è nullo: \( \vec{a}\perp vec{b}<->a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=0\)